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Cercando di descrivere fenomeni naturali si incorre spesso in situazioni apparentemente caotiche (la distribuzione delle nuvole, le fiamme in movimento). Si resta però colpiti dalle loro caratteristiche di autorganizzazione.

Si è di fronte ad un sistema dinamico lontano dall’equilibrio (struttura dissipativa), in cui l’evoluzione è legata a leggi non deterministiche, descritte dalla matematica frattale.

La scienza dei sistemi studia la coerenza che emerge spontaneamente dall’interazione di oggetti elementari: comportamenti semplici ripetuti milioni di volte descrivono un sistema caotico. Ma in mancanza di un progetto esterno dove trovano i singoli elementi d’un sistema un piano di evoluzione nell’organizzazione, come può un sistema AUTORGANIZZARSI?

Il manifestarsi d’un comportamento autorganizzato dipende da cinque condizioni fondamentali: Un grandissimo numero di elementi costituenti il sistema Interazione indiretta fra elementi Rifornimento energetico dall’esterno.

Opportune configurazioni iniziali che siano da suggerimento all’evolversi del sistema Incessante esplorazione di ogni singolo elemento di tutti gli stati energetici attraverso piccole variazioni casuali. L’ultimo punto indica la presenza del rumore, della disorganizzazione nella creazione di coerenza. Esempi di sistemi autorganizzantesi sono sotto i nostri occhi ovunque. Uno di questi sono gli anelli di Saturno: un’infinità di particelle, caratterizzate da un comportamento irregolare ed imprevedibile, si distribuiscono in fasce ben determinate.

La compresenza confinamento e irregolarità da luogo a strutture frattali. Un sistema complesso è quindi: Costituito di molti elementi in relazione fra loro. Non è isolato, ma scambia in continuo materia ed energia. Manifesta caratteristiche d’organizzazione. L’ideale riduzionistico della scienza classica è messo in crisi: un evento non si può più scomporre per esaminarne in piccolo ogni aspetto.

Bisogna tenere conto delle interazioni come elementi anch’essi e quando come nei fenomeni complessi le iterazioni sono circolari, si deve ammettere l’imprevedibilità d’un evento: può il battito d’ali d’una farfalla a Pechino causare un uragano a Los Angeles? Modelli complessi sono simulabili numericamente al computer ma logicamente non si può pretendere che essi descrivano il comportamento del sistema in ogni istante. Si parla, anche in matematica, di “dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali”.

Essa non è elimininabile perché risultato di inevitabili approssimazioni numeriche. Le simulazioni al calcolatore permettono di definire un caos deterministico, una situazione irregolare confinata in una regolarità complessiva.

In conclusione come si può volere attuare un determinismo universale se non si riesce nemmeno a prevedere con precisione la caduta delle gocce da un rubinetto? Il pensiero tradizionale è insufficiente né la scienza del caos ci aiuta a semplificare il mondo ma ci richiama però la necessità di non schematizzare eccessivamente non solo nell’attività scientifica ma anche nella vita quotidiana.

BIBLIOGRAFIA Gianni Zanarini, Finestre sulla complessità 1996 edit. Scienza

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Il caos nella funzione biologica è proprio dello stato di salute, mentre la periodicità può essere patologica.

Un monitoraggio del ritmo cardiaco mostra come la frequenza dei battiti cambi a volte in modo sensibile da un minuto all’altro o da un’ora all’altra; una broncoscopia consente di osservare come la trachea si ramifichi in vie aeree sempre più strette. Di fronte a questi fenomeni si può arrivare a percepire come l’intervallo tra i bat­titi cardiaci vari in modo caotico e la ramificazione delle vie aeree assomigli a un frattale. Solo recen­temente, però, fisiologi e clinici hanno cominciato a quantificare la possibilità dell’esistenza di di­namiche caotiche e architetture frattali; nuove ri­cerche stanno mettendo in discussione principi dati per scontati dalla medicina e si stanno riconoscendo nuovi potenziali segni premonitori di malattia. L’interpretazione convenzionale vuole che la malattia e la vecchiaia siano l’esito del logo­ramento di un sistema ordinatamente deterministi­co e che questo logoramento riduca l’ordine, pro­vocando risposte erratiche dell’organismo o scom­bussolandone i normali ritmi periodici. Negli ultimi cinque anni, noi e altri nostri colleghi abbiamo scoperto che il cuore e altri sistemi fisiologici possono comportarsi erraticamente, specialmen­te quando sono giovani e in buona salu­te. Al contrario, un aumento della rego­larità del funzionamento si accompagna a volte alla vecchiaia e alla malattia. Irregolarità e imprevedibilità sono ca­ratteristiche importanti dello stato di sa­lute; mentre una variabilità diminuita e periodicità accentuate sono associate a molte malattie. Stimolati da queste ipotesi, noi e altri fisiologi abbiamo cercato periodicità che potessero segnalare l’evoluzione di stati patologici (specialmente malattie car­diache). Inoltre abbiamo cominciato ad analizzare la flessibilità e la consistenza di strutture frattali irregolari e l’adatta­bilità e stabilità di sistemi che si compor­tano in modo apparentemente caotico. Caos e frattali sono argomenti asso­ciati allo studio dei fenomeni non lineari, ossia dei sistemi che rispondo­no sproporzionatamente a stimoli. La teoria della dinamica non lineare ha fornito chiarimenti sui fenomeni epide­mici, sulla cinetica di alcune reazioni chimiche e sui mutamenti del tempo atmosferico. In certe condizioni, siste­mi non lineari deterministici – quel­li costituiti soltanto da pochi semplici elementi [nessuno dei quali aleatorio, ndt] – si comportano in modo errati­co: uno stato chiamato caos. Il caos de­terministico dei sistemi dinamici non lineari non è l’analogo del caos nel senso letterale di completa disorganizzazione e casualità. Il caos non lineare si riferisce a un tipo di casualità vincolata che può essere associata con la geometria frattale. Le strutture frattali sono spesso esito di dinamiche non lineari caotiche: quando fenomeni caotici modellano l’ambiente (la risacca del mare, le turbolenze atmosferiche, i movimenti geologici), ne rimangono a testimonianza forme frattali (linee costiere, nubi, formazioni rocciose). Ciononostante la matematica dei frattali si è sviluppata indipendentemente da quella delle dinamiche non lineari e anche oggi le connessioni fra le due discipline non sono del tutto definite. Un frattale consiste di frammenti geometrici di grandezza e di orientamento variabile, ma con forma simile. Certi neuroni, per esempio, hanno una struttura simile ai frattali. Se si esaminano tali neuroni a basso ingrandimento si possono osservare ramificazioni asimmetriche, i dendriti, connesse con i corpi cellulari. A ingrandimento leggermente superiore si osservano ramificazioni più piccole a partire da quelle più grandi. Aumentando ulteriormente l’ingrandimento, si può scorgere un altro livello di dettaglio: ramificazioni di ramificazioni di ramificazioni. Anche se la ramificazione del neurone a un certo livello si ferma, i frattali ideali possiedono infiniti dettagli (si veda l’articolo L’accrescimento dei frattali di Leonard M. Sander in «Le Scienze» n. 223, marzo 1987). Forse ancora più notevole è il fatto che i dettagli di un frattale, a una certa scala, sono simili (seppur non necessariamente identici) a quelli della struttura vista a ingrandimento maggiore o minore. Di fronte a due fotografie di dendriti a differenti livelli di ingrandimento (senza alcun riferimento di scala sull’immagine), può essere difficile riconoscere a quale ingrandimento corrisponda una determinata fotografia. Questa proprietà interna, comune a tutti i frattali, è chiamata autosomiglianza. L’essere composto da dettagli autosimili a qualsiasi ingrandimento fa sì che il frattale non abbia lunghezza definita. Se si prova a misurare la lunghezza di un frattale con un righello, costruito in base a una data unità di misura, alcuni dettagli saranno comunque più piccoli di quanto l’unità di misura possa misurare. Pertanto, al crescere della risoluzione la lunghezza di un frattale aumenta. Dato che la lunghezza non è per i frattali un concetto significativo, i matematici calcolano la «dimensione frattale» per quantificare quanto spazio venga occupato da essi. Il concetto di dimensione si applica convenzionalmente agli oggetti della geometria classica, o euclidea. Le linee hanno dimensione uno, i cerchi hanno dimensione due, le sfere hanno dimensione tre. Ma i frattali hanno dimensioni [anche, ndt] frazionarie. Mentre una linea regolare euclidea occupa precisamente uno spazio a una dimensione, la linea frattale si dipana all’interno di uno spazio a due dimensioni. Una linea frattale – una linea costiera, per esempio-ha perciò dimensione compre sa fra uno e due. Allo stesso modo una superficie frattale – una montagna, per esempio – ha una dimensione che varia fra due e tre. Maggiore è la dimensione di un frattale, maggiore è la probabilità che una determinata regione di spazio contenga una porzione di quel frattale. Nel corpo umano strutture riconducibili ai frattali sono osservabili nelle reti di vasi sanguigni, di fibre nervose e di strutture canalizzate. Il frattale più attentamente studiato è l’albero bronchiale, il sistema ramificato che trasporta i gas respiratori da e verso i polmoni. Nel 1962, Ewald R. Weibel e Domingo M. Gomez e più tardi Otto G. Raabe e i suoi collaboratori eseguirono dettagliate misurazioni dei diametri interni delle vie aeree. Recentemente due di noi (West e Goldberger) in collaborazione con Valmik Bhargava e Thomas R. Nelson dell’Università della California a San Diego hanno rianalizzato quelle misurazioni, effettuate su calchi di polmone di uomo e di altre specie di mammiferi. Pur con piccole differenze tra le diverse specie, i risultati mostrano tra queste misurazioni rapporti tipici di oggetti frattali. Anche molti altri organi sembrano frattali, sebbene le loro dimensioni non siano state ancora quantificate. Nel cuore, le strutture frattali hanno un ruolo vitale nella meccanica della contrazione e nella conduzione dello stimolo elettrico eccitatorio. Per esempio una rete frattale di arterie e vene coronarie trasporta sangue da e verso il cuore. James B. Bassingwaighte e Hans van Beek dell’Università di Washington hanno recentemente utilizzato la geometria frattale per spiegare alcune anomalie nelle modalità del flusso sanguigno coronarico, la cui interruzione può causare l’infarto miocardico. Inoltre un intreccio frattale di fibre di tessuto connettivo all’interno del cuore – le corde tendinee – lega le valvole mitrale e tricuspide al muscolo sottostante. Se questi tessuti dovessero rompersi, vi sarebbe un forte rigurgito di sangue dai ventricoli agli atrii, seguito da insufficienza cardiaca congestizia. Infine l’architettura frattale è evidente anche nelle ramificazioni di certi muscoli cardiaci così come nel sistema di Purkinje, che conduce i segnali elettrici dagli atrii ai muscoli cardiaci dei ventricoli. Nonostante che queste strutture anatomiche di tipo frattale facciano da supporto a funzioni evidentemente diverse in organi differenti, esse hanno in comune tratti strutturali e fisiologici. Ramificazioni o ripiegature frattali amplificano grandemente la superficie disponibile per l’assorbimento (come nel caso dell’intestino), la distribuzione e la raccolta dei soluti (vasi sanguigni, dotti biliari e albero bronchiale) e per l’elaborazione delle informazioni (reti di neuroni). Le strutture frattali, anche in virtù della loro ridondanza e irregolarità, sono piuttosto resistenti a eventuali danni. Il cuore, per esempio, può continuare a pompare con uno svantaggio meccanico relativamente modesto anche in caso di un danno esteso al sistema di Purkinje. Le strutture frattali del corpo umano si originano attraverso una dinamica lenta di sviluppo ed evoluzione embrionale. Abbìamo ipotizzato che tali processi – come altri che producono strutture frattali – mostrino un caos deterministico. Recenti ricerche in campo fisiologico hanno portato alla luce altri esempi di dinamiche apparentemente caotiche in scale temporali di più breve durata, sperimentalmente «accessibili». All’inizio degli anni ottanta, quando i ricercatori cominciarono ad applicare la teoria del caos ai sistemi fisiologici, ci si aspettava che il caos sarebbe stato maggiormente osservabile negli stati patologici e nella vecchiaia. In definitiva, l’intuizione e la tradizione medica avevanosostenuto fino ad allora una visione di questo tipo. Se si ausculta il cuore attraverso un fonendoscopio o si rileva il polso, il ritmo cardiaco sembra essere regolare e la frequenza delle pulsazioni sembrano abbastanza costanti. Per questo motivoi cardiologi descrivono ordinariamente la frequenza cardiaca normale come «ritmo sinusale normale». Un’analisi più attenta rivela che individui sani hanno frequenze cardiache che variano considerevolmente anche a riposo. In giovani adulti sani, la frequenza cardiaca, che in media è di circa 60 battiti al minuto, può variare addirittura di 20 battiti al minuto nel giro di pochi secondi. In una giornata la frequenza cardiaca può passare da quaranta a centottanta battiti al minuto. Per almeno mezzo secolo i medici hanno interpretato le fluttuazioni di frequenza cardiaca in termini di omeostasi: i sistemi fisiologici normalmente si comportano in modo da ridurre la variabilità e mantenere costanti le funzioni interne. Secondo questa teoria sviluppata daWalter B. Cannon della Harvard Medical School, qualsiasi variabile fisiologica, inclusa la frequenza cardiaca, dovrebbe ritornare al suo stato stazionario dopo essere stata perturbata. Il principio dell’omeostasi suggerisce che le variazioni della frequenza cardiaca sono semplicemente risposte transitorie a un ambiente oscillante. Si potrebbe ragione-volmente immaginare che, nella malattia o nella vecchiaia, l’organismo perda la capacità di mantenere una frequenza cardiaca costante a riposo e che quindi la variabilità aumenti. Ma le cose si presentano altrimenti a chi misuri scrupolosamente i normali intervalli tra battiti cardiaci e li registri in tutto l’arco di una giornata. La serie temporale ottenuta sembra irregolare e,a prima vista, completamente casuale. Esaminando però il grafico a differenti scale temporali, emergono alcune caratteristiche. Se ci si concentra sulla serie temporale relativa all’arco di poche ore, si riscontrano fluttuazioni più rapide, le cui escursioni e la cui sequenza sembrano in qualche modo simili a quelle trovate in serie temporali più lunghe. A scale temporali ancora più ristrette (minuti), è possibile osservare fluttuazioni ancora più rapide che sembrano sempre molto simili all’andamento iniziale. sistema – come un pendolo ideale senza attriti – che evolve verso uno stato periodico. Nello spazio delle fasi vicino al ciclo limite le traiettorie seguono un percorso regolare che può essere circolare o ellittico. Altri attrattori, definiti semplicemente «attrattori strani», descrivono sistemi che non sono né statici né periodici. Nello spazio delle fasi vicino a un attrattore strano, due traiettorie che presentano condizioni iniziali praticamente identiche divergono rapidamente e su lunghe distanze temporali divengono molto differenti. Un sistema la cui descrizione presenta attrattori strani è caotico. Abbiamo recentemente analizzato la rappresentazione dello spazio delle fasi per il battito cardiaco normale. I risultati mostrano un comportamento più simile a un attrattore strano che non a un attrattore periodico, caratteristico di un processo realmente regolare. Queste osservazioni concordano con le indagini cliniche che hanno dimostrato come la dinamica di un battito cardiaco normale possa essere caotica. Il meccanismo responsabile di una variabilità caotica nella frequenza cardiaca dell’individuo sano nasce probabilmente entro il sistema nervoso. Il nodo senoatriale (il pacemaker naturale del cuore) riceve il segnale dalla parte involontaria del sistema nervoso, il sistema nervoso autonomo; questo, a sua volta, ha due componenti principali: il sistema parasimpatico e quello simpatico. La stimolazione parasimpatica diminuisce la frequenza di scarica delle cellule del nodo senoatriale, mentre una stimolazione simpatica ha l’effetto opposto. Queste due componenti agiscono come un continuo tiro alla fune sul pacemaker. Le fluttuazioni della frequenza cardiaca nei soggetti sani sono il risultato di questo continuo alternarsi di stimoli. Recentemente alcuni ricercatori, tra i quali Richard J. Cohen e colleghi del Massachusetts Institute of Technology, hanno quantificato la riduzione della variabilità del battito cardiaco a seguito di un intervento di trapianto cardiaco nel corso del quale le fibre nervose del sistema autonomo vengono recise. Osservazioni compiute in diversi laboratori suggeriscono che il caos è una caratteristica normale di altre componenti del sistema nervoso. Gottfried Mayer-Kress al Los Alamos National Laboratory, Paul E. Rapp del Medical College of Pennsylvania e Agnes Babloyantz e Alain Destexhe dell’Università libera di Bruxelles hanno analizzato gli elettroencefalogrammi di giovani soggetti sani e hanno trovato chiare prove di caos nel sistema nervoso. Otto E. Rössler e i suoi colleghi dell’Università di Tübingen hanno anche scoperto segni di caos in componenti del sistema nervoso responsabili della secrezione ormonale. Essi hanno analizzato le variazioni temporali del livello ormonale in soggetti sani e hanno trovato situazioni a quanto pare caotiche. Altri ricercatori hanno simulato l’interazione tra cellule nervose, per mostrare come possa esordire il caos. Walter J. Freeman all’Università di California a Berkeley ha dimostrato come il caos possa instaurarsi in un modello del sistema olfattivo. Il modello comprende un anello a retroazione fra i neuroni e un ritardo nei tempi di risposta. Precedentemente, Leon Glass e Michael C. Mackey della McGill University avevano riconosciuto l’importanza dei ritardi temporali per la produzione di caos. Per quale motivo la frequenza cardiaca e altri sistemi controllati dal sistema nervoso dovrebbero avere dinamiche caotiche? Probabilmente perché tali dinamiche offrono vantaggi funzionali. I sistemi caotici agiscono in un ampio spettro di condizioni e pertanto sono adattabili e flessibili; queste caratteristiche consentono ai sistemi di rispondere alle necessità poste da un ambiente imprevedibile e in continua modificazione. Molte patologie mostrano un aumento di periodicità e una diminuzione di variabilità. Le prime indicazioni del fatto che perfino un cuore sul punto di fermarsi può comportarsi con periodicità vengono dall’analisi di Fourier su forme d’onda di elettrocardiogrammi durante tachicardia parossistica o fibrillazione ventricolare, ritmi molto rapidi che assai frequentemente portano all’arresto cardiaco. Verso la metà degli anni ottanta, Raymond E. Ideker e i suoi colleghi alla Duke University School of Medicine registrarono le forme d’onda associate a fibrillazione ventricolare negli strati più interni del cuore di un cane. Essi riscontrarono che l’attività fibrillatoria all’interno del cuore è un fenomeno molto più periodico di quanto si ritenesse. Nel 1988, due di noi (Goldberger e Rigney) hanno condotto uno studio retrospettivo sugli elettrocardiogrammi di persone che avevano avuto gravi patolo gie cardiache. Si scoprì che la frequenza cardiaca di tali pazienti spesso diventava meno variabile del normale in un momento qualsiasi, da minuti a mesi, prima della morte per arresto cardiaco. In certi casi la variabilità globale della frequenza cardiaca era ridotta; in altri comparivano oscillazioni periodiche della frequenza che poi si interrompevano improvvisamente. In modo quasi identico, il sistema nervoso può mostrare perdita di variabilità e insorgenza di periodicità patologiche in disordini come l’epilessia, il morbo di Parkinson e la sindrome maniaco-depressiva. Inoltre, mentre in soggetti sani il conteggio dei globuli bianchi è stato visto variare caoticamente da un giorno all’altro, si è osservato che in certi casi di leucemia il numero di globuli bianchi oscilla con periodicità. L’andamento periodico in relazione alla malattia e quello apparentemente caotico in relazione alla salute non implicano che tutte le patologie siano associate a un aumento della regolarità. In certe aritmie cardiache il polso è così variabile che lo stesso paziente si lamenta delle cosiddette palpitazioni. Alcuni fra questi eventi rappresentano oscillazioni che sembrano irregolari, ma a un esame più attento si rivelano periodiche. In altre aritmie il battito cardiaco è in effetti imprevedibile. Tuttavia nessuna di queste patologie irregolari si è dimostrata un esempio di caos non lineare, per quanto le pulsazioni possano sembrare «caotiche» in senso colloquiale. In conclusione, la fisiologia sembra uno dei settori più promettenti per lo studio dei frattali e del caos, e di altri tipi di dinamiche non lineari. I fisiologi hanno bisogno di sviluppare una migliore comprensione di come i processi di sviluppo possano portare alla formazione di architetture frattali e di come i processi dinamici che si svolgono all’interno del corpo umano generino caos apparente. Nel prossimo futuro gli studi sui Trattali e sul caos applicati alla fisiologia potranno fornire metodi più sensibili per caratterizzare le disfunzioni dovute a vecchiaia, malattia o sostanze tossiche.

BIBLIOGRAFIA WEST B. J., An Essay on the Importante of Being Nonlinear in Letture Notes in Biomathematics 62, a cura di S. Levine, Springer-Verlag, 1985. GOLDBERGER ARY L. e WEST BRUCE J., Fractals in Physiology and Medicine in «Yale Journal of Biology and Medicine», 60, pp. 421-435, 1987. WEST BRUCE J. e GOLDBERGER ARY L., Physiology in Fractal Dimensions in «American Scientist», 75, n. 4, luglio-agosto 1987. GOLDBERGER A. L., RIGNEY D. R., MIETUS J., ANTMAN E. M. e GREENWALD S., Nonlinear Dynamics in Sudden Cardiac Death Syndrome: Heartrate Oscillations and Bifurcations in «Experientia», 44, pp. 983-987, 1988. MINETTI ALBERTO E., 1 Trattali in biomedicina in Scienza & Tecnica 89190, Arnoldo Mondadori, Milano, 1989.

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